向量的平行和垂直是计算向量运动和力学的重要工具。在物理学、几何学和工程学中经常使用这些工具。两个向量平行，表示这两个向量具有相同的方向但大小可以不同。垂直向量，则是在两个向量正交时使用。此时向量是互相垂直的且夹角为90度
在平面向量中，我们通常使用dA=|a||b|sinΘ公式来计算向量a和向量b的叉积，其中Θ是a和b之间的夹角。该公式称为向量的几何定义。同样地，有向量的数学定义：a⊥b当且仅当a·b=0，其中·是向量的点积。该定义是基于内积空间的。
在实际应用中，我们可以使用向量的平行和垂直关系来计算物体的速度、加速度和力的大小和方向。例如，在分析一个底部移动的物体时，我们可以将它的位移向量分解为平行和垂直向量，然后用平行向量计算物体的速度，用垂直向量计算物体的加速度。
此外，在三维向量中，我们可以使用叉积公式来计算平面或立体图形的面积和体积。例如，在计算三角形面积时，我们可以使用向量叉积最简单的公式，即A=(1/2)|a×b|。其中，a和b是两个形成三角形的向量，|a×b|是它们的叉积的模，1/2是一个常数，即三角形的基线长度。
